GPS-Praktikum Mystery Cache
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Difficulty:
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Terrain:
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Size: 
(micro)
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Ihr denkt ihr praktiziert jeden Tag GPS – nein, es ist euer Gerät, das es praktiziert. Dieser Cache soll euch anschaulich demonstrieren wie GPS funktioniert und was an wesentlichen Dingen in eurem kleinen Gerät ablaufen. Und egal ob ihr nun den Cache löst oder scheitert – ihr werdet hinterher mehr Respekt vor dem haben, was euer kleines Gerät leistet.
GPS basiert auf der Laufzeitmessung der Signale von den GPS-Satelliten zum GPS-Empfänger. Der GPS-Satellit sendet eine Unmenge von Informationen und die Pseuo-Random-Noise-Codierung wäre bereits ein Thema für sich. So sendet der Satellit z.B. auch seine genauen Bahndaten (Kepler-Elemente), mit dessen Hilfe der GPS-Empfänger zu jeder Zeit die Position des Satelliten im Raum berechnen kann. Jedoch die entscheidende Information eines jeden Satelliten lautet allgemeinverständlich formuliert etwa so: „Ich bin Satellit PRN XY. Die Zeit beim letzten Ton des Zeitzeichens ist genau 11:35 Uhr und 10 Sekunden“. Und hier ist "genau" wörtlich zu nehmen, denn jeder GPS-Satellit hat gleich zwei hochgenaue, synchron laufende Atomuhren an Bord, bei denen auch noch die relativistischen Zeiteffekte aufgrund seiner Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Es gibt eine extra GPS-Zeit, die frei von Schaltsekunden ist. Der GPS-Empfänger könnte jetzt die Laufzeit des Signals von Satelliten bis zum Eintreffen bestimmen (und damit auch die absolute Entfernung zum Satelliten), wenn auch er eine solche hochgenaue, synchron laufende Atomuhr hätte. Dann wären aber die Geräte nicht mehr so schön klein und preiswert in euren Händen! Es können also nur die Zeitdifferenz des Eintreffens der Signale unterschiedlicher Satelliten hinreichend genau bestimmt werden, woraus sich nur Entfernungsdifferenzen ableiten lassen. Betrachten wir den vereinfachten Fall von zwei Satelliten in der Ebene: Bei bekannter Entfernungsdifferenz von zwei bekannten Punkten ergeben sich als mögliche Aufenthaltsorte ein Hyperbelast (Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, für die die Differenz der Abstände von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) konstant ist). Hat man nun einen weiteren dritten Satelliten zur Verfügung, so ergibt sich auch für die Entfernungsdifferenz zu diesem ein weiterer Hyperbelast, der den ersten Hyperbelast schneidet. Dieser Schnittpunkt ist unser Standort. Unter (ungünstigen) Umständen können auch zwei Schnittpunkte zustande kommen. Ein vierter GPS-Satellit bringt hier eindeutige Klarheit. Ganz nebenbei können wir auch noch die exakte (Atom-)Zeit berechnen. Im dreidimensionalen Fall wären es Hyperboloide, die sich schneiden und es wären mindestens vier Satelliten erforderlich. Genug der Vorrede. Machen wir nun folgendes Gedankenexperiment, das euch zum Cache führen wird: An den Finalkoordinaten von vier Caches in der Umgebung wurden statische GPS-Satelliten installiert, die alle immer zum exakt selben Zeitpunkt ein Signal ausstrahlen. Ihr müsst aber erst die Finalkoordinaten dieses Caches ermitteln (die „Kepler-Elemente“ bestimmen), falls ihr das noch nicht gemacht habt. Wenn ihr euch nun an den Finalkoordinaten diese Nano-Caches („GPS-Praktikum“) befinden würdet, dann würdet ihr feststellen können, dass die Signale von den einzelnen Satelliten in folgender Reihenfolge mit folgenden Zeitdifferenzen eintreffen: Zuerst trifft das Signal von GC160KT (Der traurige Diophant) ein. Dann trifft nach 0,864 µs das Signal von GC48C2T (Picknickmathematik) ein. Nach weiteren 3,049 µs trifft das Signal von GC1V404 (in memoria abi '09) ein. Nach weiteren 0,287 µs trifft das Signal von GC1QWZC (90 Jahre Zella-Mehlis I) ein. Zum Schluss trifft nach langen 16,031 µs noch das Signal von GC5A12 (Thueringen Challenge) ein. Somit wird dieser Micro-Cache zum Bonuscache für die genannten. Das Problem soll mit zweidimensionalen Abständen auf dem WGS-84-Ellipsoid betrachtet werden. Es sind mindestens drei Caches erforderlich. Die weiteren Caches sind somit redundant und können zur Kontrolle genutzt werden, wenn sich zwei mögliche Standorte ergeben. Als Ausbreitungsgeschwindigkeit der Signale verwende man die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c = 299 792 458 m/s! Man kann nun die Lösung unterschiedlich angehen: Die Theoretiker unter euch können ein Gleichungssystem mit drei nichtlinearen Gleichungen und drei Unbekannten lösen. Zugegeben, das ist mindesten Mathe-Leistungskurs! Die bildlich Veranlagten können das Problem graphisch lösen, indem sie resultierenden Hyperbeln auf einer geeigneten Karte einzeichnen. Die Praktiker können gleichzeitig mit drei GPS-Geräten loslaufen (das schreit nach Teamwork!) und sich über die gemessenen Entfernungen zu den genannten Caches den Hyperbelästen annähern und auf ihnen dann bis zum Schnittpunkt laufen. Und die Intuitiven nutzen die Hints und eine detaillierte topografische Karte oder/und ihre sehr gute Ortskenntnis und folgen auf gut Glück einer Eingebung. Diese Gruppe sollte dann aber vor Ort wenigsten die absoluten Abstände zu den anderen Caches ermitteln (und diese Werte mir per Mail mitteilen). Vielleicht existiert auch eine fertige Software, die dieses Problem löst – glaube ich aber eher nicht. Sollte jemand einen weiteren Lösungsweg finden, so teile er diesen mit.
Deine Lösung für die Koordinaten dieses Praktikums kannst du auf geochecker.com überprüfen. Geochecker.com.
PS: Wem das hier noch zu einfach ist, der kann ja mal das GPS von Yaws suchen … eine echte Herausforderung in 3D.
Additional Hints
(Decrypt)
zntargvfpu, pn. 2,70 z ubpu, iba hagra fvpugone