Bei diesem Cache handelt es sich um einen mathematischen Rätselcache bei dem ein Problem des Alltags auf den Grund gegangen werden soll. Der Geländeteil des Caches umfasst eine kleine Wanderung von insgesamt ca. 4 km. Der Höhenunterschied beträgt ca. 180 m. Bei der Benutzung eines Zweirades wird ein Mountainbike empfohlen. Es lassen sich auch alternative Routen zum Cache finden, dadurch wird die Entfernung größer, der Höhenunterschied aber deutlich reduziert. Vor Ort sind Rastmöglichkeiten vorhanden und je nach Öffnungszeit erfolgt eine Versorgung der Wanderer mit den üblichen Speisen und Getränken. Wie Heilos bereits im Log geschrieben besteht die Versorgung aus den üblichen Getränken und Allerlei vom Rost.
Der Frühling hat begonnen und es ist wieder Saison für ausgedehnte Cachetouren, Ausflüge und Picknick. Für die Rast sucht man sich ein schönes Plätzchen, eine schöne Wiese oder Berghütte, packt seinen Proviant aus und während sich gestärkt wird, genießt man die Natur.
Das folgende Problem ist sicher dem ein oder anderen schon mal aufgefallen: Stellt man seine Trinkflasche ins Gras, so steht sie anfangs noch nicht besonders stabil. Je mehr man aus der Flasche getrunken hat, desto stabiler steht sie und wenn sie ganz leer ist, steht sie wieder genauso wacklig wie am Anfang. Warum ist das so?
Wie sicher jeder weiß, wird die Stabilität der Flasche maßgeblich von der Lage des Schwerpunktes bestimmt. Wenn die Flasche voll ist, liegt dieser ungefähr auf der Hälfte der Höhe. Trinkt man ein bisschen aus der Flasche wandert der Gesamtschwerpunkt nach unten, ist die Flasche halb leer so liegt der Schwerpunkt noch bei etwa einem Viertel der Höhe. Irgendwo gibt es einen Punkt, an dem die Flasche am Stabilsten steht, das bedeutet, der Gesamtschwerpunkt liegt an der tiefst möglichen Stelle. Wer möchte kann das mal mit verschiedenen Gefäße ausprobieren, z.B. Kunstoffflasche, Glasflasche, Aluminiumtrinkflasche usw. Dabei wird man feststellen, dass bei gleicher Füllmenge der Gefäße die optimalen Füllstände (Füllstand bei dem der Schwerpunkt am niedrigsten ist) unterschiedlich sind. Das liegt daran, dass die Leermassen der Gefäße sich unterscheiden. Für die Stabilität ist das Verhältnis aus Leermasse des Gefäßes und Masse der verbleibenden Flüssigkeit ausschlaggeben. Es sei noch Hinzuzufügen dass die Schwerpunkte der leeren Gefäße sich unterscheiden, bei einer Dose, welche sich mathematisch als Zylinder beschreiben lässt, liegt der Schwerpunkt auf der Hälfte der Höhe, bei Flaschen und anderen unregelmäßigen Gefäßen lässt sich das nicht so einfach sagen. Hier muss man sich für die Berechnung was einfallen lassen.
Zusammenfassend gesagt ist der Gesamtschwerpunkt abhängig von der Füllhöhe der Flasche. Am Anfang und am Ende des Leerens der Flasche ist er maximal und irgendwo dazwischen gibt es ein Minimum. Das hört sich doch sehr nach einem Optimierungsproblem (Extremwertaufgabe) an.
Ich habe euch schon ein bisschen Arbeit abgenommen und meine Trinkflasche vermessen. In der folgenden Skizze sind die notwendigen Maße dargestellt. Wir gehen davon aus, dass die Flasche mit einem Liter Wasser gefüllt ist. Die Dichte von Wasser ist mit 1 g/cm³ ausreichend genau beschrieben. Außerdem brauchen wir noch die Leermasse der Flasche: 130 g. Wir gehen davon aus, dass die Leermasse gleichmäßig über die gesamte Flasche verteilt ist.
Folgende Hinweise könnten nützlich sein:
Zuerst sollte man sich Gedanken machen, wo der Schwerpunkt der leeren Flasche liegt. Hier gibt es viele Wege. Die Pfiffigen unter euch erinnern sich an ihren Physik- und Mathematikunterricht und lösen das Problem rechnerisch. Wer die Möglichkeit hat, kann auch den Computer nutzen und sich den Schwerpunkt berechnen lassen. Die Praktiker bastel sich ein Modell (2D reicht) und machen ein kleines Experiment und balancieren das Modell aus. Gibt es noch einen weiteren Weg? Ich bin gespannt. Es reicht wenn ihr das Ergebnis auf ganze Millimeter rundet.
Der zweite Teil ist der schwerere. Es geht darum einen mathematischen Zusammenhang (Funktion) zwischen Füllstand und Gesamtschwerpunkt zu finden und von diesem den Minimalwert zu bestimmen (Stickwort: Mathematik Analysis Extremwertaufgabe). Manche werden sich an ihre Schulzeit erinnern. Es kann also nicht schaden alte Schulbücher aufzutreiben. Für diejenigen, für die das alles Neuland ist kann eine Recherche im Internet unter den genannten Stichwörtern sehr aufschlussreich sein. Es gibt ein paar Bücher in denen ein ähnliches Problem erläutert und gelöst ist.
Um den Cache zu finden sind folgende Aufgaben zu lösen:
1. Bei welcher Füllhöhe der Flasche (ganze Millimeter) liegt der Schwerpunkt am niedrigsten?
(A)=(Zahlenwert der Füllhöhe in Millimetern)
(B)=(Absolute Quersumme von A)
2. Wieviel muss man trinken (ganze Milliliter), damit die Flasche am stabilsten steht?
(C)=(Volumen der getrunkenen Flüssigkeit in ganzen Millilitern)
(D)=(Absolute Quersumme von C)
Der Cache liegt bei:
N 50° (4B+7).(3A+5)‘
E 010° (7D+3).(C-30)‘
Ich werde noch einen Geochecker mit implementieren. Damit ihr nicht umsonst lauft, dürft ihr mir bis dahin gerne eine Nachricht schreiben und euch die Koordinaten bestätigen lassen.
Erstausstattung
- Kerze
- Streichhölzer
- Frisbee Scheibe
- Schlüsselband
- Erstfinderurkunden
Wartungshistorie
04.05.2013: Cachekontrolle, Spoilerbild und Listing aktualisiert.