Une précédente cache « Un peu de calcul balistique » - GC8DF20 - vous a fait découvrir, ou redécouvrir, le mouvement parabolique appliqué à projectile propulsé par un canon de 88.
Nous vous proposons une cache qui permettra de constater que la résistance de l’air au mouvement est un paramètre important dans le trajet d’un projectile.
La presqu’île de Crozon est riche en ouvrages défensifs qui, tout au long des siècles, ont servi à protéger l’accès à l’arsenal de Brest et aussi éviter le débarquement de l’ennemi en vue d’une prise à revers de certains de ces ouvrages.
Outres des militaires, ces ouvrages étaient équipés de canons chargés de tirer sur les navires ou sur les troupes en débarquement. De ces ouvrages, il ne reste aujourd’hui que des vestiges plus ou moins bien conservés, que vous pouvez d’ailleurs découvrir via de nombreuses caches. Les canons ont malheureusement, ou heureusement, disparu. Il en reste néanmoins encore deux que l’on peut voir :
- un canon de 88 à Camaret-sur-Mer au petit musée mémorial de Pen Hir ;
- un canon de 90 sur une tourelle d’un char Panhard près de la pointe des Espagnols à Roscanvel.
Pour notre cache et le calcul balistique qu’il vous faudra réaliser, vous allez vous intéresser à celui situé au musée mémorial de Pen Hir.
Ce canon a été alimenté par un objet sphérique d’une masse de 560 grammes et d’un diamètre de 7,3 cm. Lors de la mise à feu, l’objet a été propulsé à une vitesse de 87 m.s-1 avec un angle de 15° en élévation par rapport à la plateforme.
La plateforme du canon est posée à 54 mètres au-dessus du niveau de la mer et le début de la chambre du canon est située un mètre plus haut que la plateforme. Le point d’impact est situé à 45 mètres au-dessus du niveau de la mer.
Pour le calcul balistique vous allez prendre en compte :
- la résistance de l’air ;
- la gravité (g = 9,81 m.s-2);
et ignorer :
- la poussée d'Archimède ;
- la force de Coriolis ;
- la variation de la pression en atmosphérique lors du trajet du projectile ;
- les rayures de la chambre du canon ;
- la vitesse du vent ;
- et l’âge du capitaine.
Pour le calcul de la résistance de l’air au projectile, les paramètres suivants sont à intégrer :
- masse volumique de l’air (l’altitude qu’atteint le projectile pendant le mouvement ne sera pas influencée par la variation de la pression atmosphérique) : 1,3 kg.m-3 ;
- coefficient de traînée (Cx) du projectile : 0,45.
Il s’agit bien évidemment de trouver la distance ou portée à laquelle a été propulsé le projectile. Pour cette valeur, vous procéderez à un arrondi arithmétique à l’unité.
Sans résistance de l’air, le projectile parcourt 420 m (arrondi à l’unité).
En possession de la distance, il vous faudra alors calculer, par une projection, les coordonnées du point d’impact. Pour cela, rendez-vous au coordonnées virtuelle (étape 1) afin de trouver l’azimut du canon : à la stèle, vous prendrez les deux premiers chiffres (de gauche à droite) du nombre de marins marchands disparus (paix à leur âme). Vous multiplierez le nombre, formé par ces chiffres, par 2 et vous ajouterez 10 au résultat.
Le tir ou la projection s’effectuera depuis les coordonnées de l’étape virtuelle n°2.
L’outil certitude vous permettra de valider la portée ou distance. Il vous donnera aussi le prochain stationnement ainsi qu’un outil de vérification des coordonnées finales.
Il s’agit là d’un calcul fort complexe qui fait intervenir une équation différentielle, et donc la compréhension n’est pas vraiment accessible à tout le monde. Pour la petite histoire, même le grand Isaac Newton n’est pas arrivé au bout de ce calcul. Il a fallu attendre Bernoulli et Euler avec sa méthode pour cela.
Quel est l’intérêt alors de vous faire chercher quelque chose de si complexe ? Eh bien, avec un peu de recherches sur Internet vous arriverez à trouver la solution. La plupart des explications proposées (Wiki, Youtube, sites de simulation, cours de physique à Polytechnique, etc.) ne donnent pas de formules finales toutes faites car il y a des modèles différents et toujours quelque chose à calculer (la traînée, le coéf. de proportionnalité…). Il s’agit de trouver un abaque qui fera le travail à votre place. Il en existe un, pas trop immergé dans le Web, mais il faut le trouver. Dans ce qui suit, vous trouverez un mot-clé qui, associé à « balistique », « parabolique », « trajectoire », « mouvement » (ou tous), vous conduira sur la bonne page. Après les explications d’usage, un « bonus » sera proposé en téléchargement (pas de danger, c’est une feuille Excel sans code malicieux). Et là, c’est assez facile ! Attention de prendre en compte la hauteur du tir (dénivelé entre le départ et l’arrivée du projectile) et la mettre en y[m] (cellule C2). L’intervalle de temps sera 0.05s (cellule V6). Il faut mettre 0 dans la cellule V12, car... vous aviez compris. La masse volumique de l'air restera à 1.3 kg.m-3.
Petits exemples (masse volumique de l’air : 1,3 kg.m-3)
Une flèche tirée d’un arc à une hauteur de 0 m avec une vitesse de 90 ms-1, un angle de 45° et sans résistance de l’air parcourra une distance de 825,69 mètres.
La même flèche (masse 22,7 grammes, diamètre 0,6 cm, Cx 0,94) et sans prendre en compte les plumes, parcourra, avec une résistance de l’air, une distance de 567 mètres. Les distances seront respectivement de 282 et 248 mètres avec un angle de 10°.
Un obus propulsé d’une hauteur de 0 m à 200 m.s-1 avec un angle de 45° et sans résistance de l’air parcourra la distance de 4077,64 mètres. Le même obus (42 kg, diamètre 15 cm, Cx 0,06), en prenant en compte la résistance de l’air, parcourra 3 876 mètres.
En prenant en compte les mêmes paramètres que pour l’obus (0m, 200 m.s-1, 45°) et sans résistance de l’air, un piano parcourra lui aussi 4 077,64 mètres (tout comme l’obus - nous sommes dans le vide). Avec la résistance de l’air, ce piano (masse 400 kg, diamètre 2.2 mètres, Cx 1,2) ira seulement à 286,64 mètres. Étonnant non ?
Le plus incroyable concerne la balle de golf. Avec une masse de 50 grammes, un diamètre de 4 cm, un Cx de 0,25 et un angle de 45°, nous construisons le tableau ci-dessous :
|
Vitesse de départ en m.s-1
|
Portée avec résist.de l’air (m)
|
Portée sans résist. de l’air (m)
|
|
50
|
147
|
254
|
|
100
|
291
|
1 019
|
|
200
|
441
|
4 077
|
|
300
|
524
|
9 174
|
|
400
|
580
|
16 309
|
|
500
|
622
|
25 484
|
|
1000 (mach 3)
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742
|
101 936 (oui 102 km)
|
Pour faire un par 5 en un coup (sans prendre en compte les éventuels virages du terrain) Tiger Woods (ou Jack Nicklaus pour les anciens) devra propulser la balle à près de mach 0,9. À ce stade, nos calculs seront faux car d’autres forces commenceront à agir.
Avec cet abaque, vous êtes maintenant mûr pour vous recycler en artilleur, archer, snipper, golfeur, ou lanceur de pianos !
Vous pouvez valider la portée avec certitude.