Trajectoires #4 Laurent Garnier Mystery Cache

Le mot « boomerang » est très ancien, il vient du turwall  (une langue aborigène d’Australie), bou-ma-rang qui signifie « bâton qui revient ». Contrairement à son nom et aux idées reçues, la majorité des boomerangs ne revenaient pas. Ils se nommaient "bâtons de jet" et servaient généralement à la chasse ou à la guerre. Ils volaient tout droit et relativement loin avec une portée de plus de 100m. Ils ne servaient pas à tuer, mais à effrayer les animaux (émeus, lapins, wallabies...) pour les rabattre vers les chasseurs.

Les boomerangs capables de revenir sont apparus un peu plus tard et servaient surtout à s'amuser (jeux d’adresse). Ils étaient plus petits, plus fins, plus légers que ceux employés pour la chasse.

Dès que l'on pense boomerang, on pense aux arborigènes d'Australie. Mais ils n'en ont toutefois pas l'exclusivité. Des fouilles archéologiques ont montré que cet objet était connu de différentes cultures dans le monde (En Egypte, chez les tribus Hopis en Arizona...). Le plus vieil objet de ce type fut retrouvé en Pologne, et date de 23000 ans).

Le boomerang devient plus tard une simple pratique sportive, et fait l'objet de compétitions un peu partout. Une coupe du monde a été créée en 1988. Il y a différents types d'épreuves:

• La vitesse :    rattraper le boomerang 5 fois en un minimum de temps.
• L'endurance : rattraper le boomerang un maximum de fois en 5 minutes.
• La précision : viser une cible au sol, sans forcément retour à soi.
• Le vol le plus long :  en durée de vol.
• La distance : envoyer le boomerang le plus loin possible avec retour.
• L'acrobatique (ou Free-style) : effectuer des figures en rattrapant le boomerang.
• etc...

Très longtemps, le vol du boomerang est resté un mystère. C'est seulement en  1975 qu'un chercheur Néerlandais, Félix Hess, a réussi à l'expliquer scientifiquement.

En revenant d’Australie, un certain Monsieur K décide d’en fabriquer un, en beau contreplaqué aviation, à partir du bouleau  de Finlande (il parait que c’est le meilleur !). Il avait admiré de véritables magiciens lancer ces beaux objets dans les airs, les rattrapant d’un geste swelte après parfois plus de 10 secondes de vol gracieux.

Il opte pour un Tri-pale, qui est, parait-il, plus facile à manier.

Après des heures de découpage, limage (pour avoir un profil parfait), ponçage et vernissage, il se rend sur le terrain pour les premiers essais, tout fier de sa magnifique réalisation. Il a lu tous les conseils pour débutants : orientation par rapport au vent, inclinaison par rapport à la verticale, beau mouvement de bras et de poignet…

Après de nombreux essais, il parvient parfois, en se faisant horriblement mal au poignet, à le faire revenir à ses pieds.  Il est tout de même heureux, mais il veut devenir un maître en la matière ! La trajectoire décrite est loin de celle qu’il désire. Son rêve, en effet, est de lui faire décrire un cercle complet, d'au moins 20 m de diamètre comme le font tous ceux qu’il a vus en Australie !

Il  tente alors différentes techniques : inclinaisons, lancements plus ou moins rapides, rotations plus ou moins importantes. Le cercle qu’il obtient (quand il en obtient un !) reste d’une dizaine de mètres de rayon seulement ! Dans tous les autres cas, son boomerang retombe lamentablement ou bien s’envole littéralement dans les airs et retombe n’importe où, sans revenir à lui !  Pour atteindre les 20m, il essaie de le lancer le plus fort possible, il en ressort à chaque fois avec des douleurs affreuses dans tout le bras ! Rien n'y fait !

Au bord du désespoir, plutôt que de jeter son boomerang fabriqué avec amour, il songe alors à des amis qui sont allés aussi en Australie et qui ont eu le temps d'étudier un peu plus que lui le principe du boomerang et son réglage. Ceux-ci lui fournissent alors un petit manuel sur le "VOL DU BOOMERANG", expliquant pourquoi il vole, et la façon de le régler pour améliorer ses performances.

Monsieur K se met aussitôt au travail ! Il a toujours en tête un rayon de trajectoire R = 20m (ce qui fait en réalité une portée de 40m). Il rassemble dans un tableau toutes les valeurs numériques utiles:

L'angle ψ avec la verticale est une valeur moyenne (au moment du tir, il doit être inférieur à une quinzaine de degrés, mais le boomerang a tendance à se coucher au cours du vol).

Il applique les différentes formules en travaillant avec au moins 5 ou 6 chiffres significatifs pour pi et dans les calculs intermédiaires. Remarque: avec Excel, c'est facile, il  conserve automatiquement tous les chiffres significatifs !).

Il obtient les résultats arrondis suivants:

• Rayon de trajectoire  (effet gyroscopique) :         R = 10,69 m   ( ≈ 11m)
• Vitesse de lancement  (raisonnement avionique) :  V = 18,434434 m/s   ( ≈ 66 km/h)
• Vitesse de rotation nécessaire  :          1546 trs/mn   (entier le plus proche)
• Vérification du rayon obtenu (force centrifuge) :  R =  10,69 m (identique au rayon calcul par l'effet gyroscopique)

Il comprend enfin pourquoi son boomerang vole très mal : la vitesse de lancement ne semble pas trop exagérée, mais la vitesse de rotation nécessaire est beaucoup trop élevée (elle ne doit pas trop dépasser 1000trs/mn). Et de toute façon, il est bien loin des 20 m de rayon espérés !

Monsieur K pourrait approfondir la question et se lancer dans le réglage de son boomerang, mais étant très souvent en déplacement autour du monde pour son travail, il voudrait profiter rapidement de son splendide boomerang à chaque moment de repos ! Il a vraiment trop peu de temps libre pour se pencher sur ce problème.

A) Compréhension du vol du boomerang

Le rayon de la trajectoire (donc la portée) du boomerang dépend :

• de la vitesse de lancer ?             1
• de la vitesse de rotation ?          2
• du boomerang ?                          3
• de l'angle de lancer par rapport à l'horizontal     4

On augmente ce rayon en augmentant:      

• surtout son moment d’inertie ?        5
• surtout sa masse ?                           6

Si on le lance très horizontal (psy > 60°)

• il retombe très vite au sol ?     7
• il décrit un cercle à plat ?        8
• il s'envole dans les airs et retombe n'importe où ?           9

Si on le lance de plus en plus fort, la portée est de plus en plus grande ?    Oui (10)  ou Non (11)

Si on possède différents types de boomerangs en vu d'épreuves de distance, il faudra de toute facon les lancer fort ?    Oui (12)  ou Non (13)  

Soit X le nombre formé de toutes les réponses choisies précédentes mises les unes à la suite des autres (au total 7 chiffres).

B) Réglage du boomerang

En fait, ce boomerang "parfait" demande juste un réglage. Pour éviter de retailler les pales, le plus simple est d'ajouter des petites masses aux extrémités des trois pales. Le but est de rendre le boomerang plus maniable (rotation < 1000 tr/mn) et en même temps d'augmenter le rayon de trajectoire à 20m.

1) On choisit des petits lests de masse :  m₁ = 15g chacunes.

En gardant la vitesse de lancer précédente V₁ = V pour un rayon de 20m (en prenant la valeur NON ARRONDIE), recalculer dans l’ordre (en gardant au moins 5 à 6 chiffres significatifs dans les calculs intermédiaires, ou bien avec Excel, tous les chiffres !):

• la vitesse de rotation nécessaire (en trs/mn)          O₁ = ---  (arrondie au plus près, en trs/mn)
• le rayon obtenu (en métres)                                     R₁ = --  (arrondi au plus près, en m)

2) On constate que le boomerang réglé ainsi est parfait. Mais pourrait-on doubler sa distance pour atteindre un Rayon de 40 m (80m de portée !) ?

• Quelle doit-être la nouvelle vitesse de lancer ?      V₂ = --  (arrondi au plus près, en km/h)
• Quel lest sur chaque pale doit-on utiliser ?            m₂ = --  (arrondi au multiple de 5 supérieur, en g)
• En utilisant cette valeur entière arrondie au multiple de 5 supérieur, quelle est la nouvelle valeur de la vitesse de rotation ?     O₂ = ---- (arrondie au plus près, en trs/mn). Quelle est la valeur du rayon obtenu ?  R2= -- (arrondi au plus près, en m).

On constate avec joie que ce boomerang permet de telles distances, avec beaucoup d'entrainement bien sûr : Le lancer est encore inférieur à 100km/h, et la vitesse de rotation reste voisine de 1000 tr/mn. Si on s'amuse à calculer le temps de vol ( 2piR/V) on trouve environ 10 secondes ! C'est remarquable !

Monsieur K est heureux, il a un boomerang capable de très belles performances !

N   48° 52. O₂ + m₂ + 2 - R₁  - (X/9161)

E   002° 17. (V₂ + R₂)*(m₂ - R₁) - O₁ - 1  

(* est une multiplication)

Remarque: considérez ici les variables comme des nombres entiers sans unités, sinon, ces formules sont une abomination pour ce qui est de l'homogénéité des unités !  Il n'y a qu'au Géocaching que l'on peut écrire cela, surtout pas lors d'un contrôle de Mathématiques !!!

Pour vous aider, on vous donne les racines numériques (checksum réduit à un chiffre) des résultas:

O1: 3    R1: 6    V2: 4    m2: 8    O2: 2    R2: 5