Trajectoires #2 Tiger Woods
Eh oui, il s'agit bien sûr cette fois-ci de GOLF. Même s'il y a de nouveaux très bons joueurs, Tiger Woods est déjà dans la légende !
Un petit problème de "Mathématique Programmation" à propos de cette belle et mystérieuse trajectoire d'une balle de golf.
Lors d'un très beau swing on suppose une vitesse initiale de balle de V0 = 250 km/h (performance de très bons joueurs) et un départ de balle dont l'angle est de 8° avec l’horizontale.
Un simple calcul en supposant une trajectoire parabolique (tir dans le vide) donnerait une portée d’environ 130m. C’est bien peu et si on tient compte de la résistance de l’air. Celle-ci a forcément une forte influence étant donné la vitesse des balles. La portée réelle calculée descend alors en dessous de 100m, même avec une balle alvéolée performante.
Il est pourtant assez fréquent de dépasser 200m lors d’un beau swing ! Alors ?
Quelle est donc cette force magique qui modifie totalement la trajectoire de la balle et fait en sorte qu'elle semble demeurer éternellement dans les airs ?
En fait, cette force provient de la rotation de la balle sur elle-même provoquée lors de son lancement. C’est l’effet Magnus découvert par Heinrich Gustav Magnus (1802-1870). Si la balle tourne dans un certain sens, elle est ainsi portée dans les airs ! Les très bons golfeurs peuvent même réaliser ainsi des trajectoires 3D (en déviant à droite ou à gauche) pour lutter contre le vent ou contourner des obstacles.
On retrouve ces effets de rotation dans d’autres sports (balle liftée ou coupée au tennis ou au ping-pong, coup-franc magique au football de Roberto Carlos en 1997 qui contourna totalement la ligne de défense !).
On prendra les valeurs numériques suivantes: 
| d = 43 mm |
Diamètre de la balle |
| m = 46 g |
Masse de la balle |
| Cd = 0,26 |
Coefficient de frottement (balles actuelles) |
| Cm = 0.55 |
Coefficient de Magnus (balles actuelles) |
| ρ = 1,2 kg/m3 |
Masse volumique de l’air (conditions normales) |
| g = 9,81 m/s2 |
Intensité de la pesanteur |
| V0 = 250 km/h |
Vitesse initiale de la balle (on ne peut guère faire plus !) |
| α = 8° |
Angle de tir par rapport à l’horizontale |
| ω0 = -70 tours/s |
Vitesse initiale de la rotation de la balle (Vecteur perpendiculaire à la trajectoire). |
| τ = 10 s |
Constante de temps de décroissance exponentielle de cette vitesse de rotation ω |
Attention, il y a plusieurs modèles assez voisins, mais ne fournissant pas exactement les mêmes résultats numériques. on prendra ici :
| Résistance de l'air |
 |
| Effet Magnus |
 |
Trouver pour le tir réel (résistance de l'air et rotation de balle) avec un sol horizontal:
La distance L(en m) = abc d’un tel tir, arrondi au mètre (au plus près).
Le temps T de vol(en s) = d de la balle arrondi à la seconde (au plus près).
Coordonnées finales (seul le signe * indique une multiplication):
N = 48° 52. XX5 Avec XX = (d+b+1)*(a+c)
E = 2° 17.YY1 Avec YY = a*d + c*(b+1)
Pour vous aider, un fichier est fourni : aide_golf.pdf
Vous pouvez le télécharger. La résolution est ainsi devenue plus facile.
Rien ne vous interdit d'utiliser un langage de programmation ! Mais au vu de la précision demandée, on peut résoudre le problème sans programmation avec seulement un tableau (Excel). Une photo de ce que l'on doit obtenir est fournie.
Pour vous aider encore: voici les racines numériques des résultats (Checksum réduit à un chiffre):
abc: 2 d: non donné, car d est déja formé de un seul chiffre !
