GC44FGD Die 1.000.000 Dollar Frage (Unknown Cache) in Baden-Württemberg, Germany created by HonigBaer

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BjoernBaer: Leider komme ich nicht dazu eine neue Dose zu legen, daher geht dieser Mystery ins Archiv und macht Platz für neue Dosen.

GC44FGD ▼

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Hidden : 1/16/2013

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Geocache Description:

Es ist wirklich war, wer die Riemannsche Vermutung (oder das 8. Hilbertsche Problem) beweisen kann, erhält vom "Clay Mathematics Institute" ein Preisgeld in Höhe von 1.000.000 Dollar.

Jetzt kann ich euch beruhigen, ihr müsst nicht die Riemannsche Vermutung beweisen, dann müsste ich wohl noch lange warten, bis dieser Cache gefunden wird und überprüfen könnte ich es sowieso nicht. An dieser Vermutung beißen sich die gescheitesten Mathematiker seit dem Jahr 1859 die Zähne aus und können diese Hypothese nicht beweisen.

Aber um was geht es hier eigentlich?

Eines der schönsten Gebiete der Mathematik ist die Primzahlforschung. Die Primzahlen sind die Bausteine der Zahlentheorie: Ein Primzahl ist eine Zahl, die nur durch 1 und sich selber teilbar ist: 2,3,5,7,11,13,17,19, ...
Schon seit tausenden von Jahren forschen die Mathematiker nach den Primzahlen. Der Grieche Euklid konnte beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Das ist ein unheimlich schöner Beweis, der mich schon immer durch seine Klarheit und Einfachheit fasziniert hat.
Für was brauchen wir eigentlich die Primzahlen im alltäglichen Leben? Die Primzahlen spielen eine entscheidende Rolle in der Codierungstheorie und werden auch beim Verschlüsseln von Informationen im Computer verwendet.

Ein Beispiel kannst du in Wikipedia nachschauen:
RSA-Kryptosystem

Daher suchen die Mathematiker nach einer Funktion, die die Primzahlen generiert. Momentan verläuft die Primzahlerzeugung so: Vermutung 2^n-1 ist ein Primzahl. Dann wird überprüft, ob diese Zahl wirklich eine Primzahl ist. Diese gesuchte Funktion zur Erzeugung der Primzahlen wäre dann so etwas wie der heilige Gral der Mathematik.

Die grösste im Jahr 2013 entdeckte Primzahl lautet 2^57885161-1. Dies ist eine Zahl mit 17425170 Stellen!.

Gauss entdeckte nun, dass die Verteilung der Primzahlen ganz ähnlich wie die Logarithmus-Funktion ist: von 1 bis 10 gibt es 4 Primzahlen. Zwischen 1 und 100 gibt es 25 Primzahlen usw. Leider stimmen die Primzahlverteilung und die Logarithmusfunktion nicht genau überein. Man benötigt also noch eine Funktion, die diese Abweichung beschreibt. Und genau hier tritt die von Euler entdeckte Zeta-Funktion an das "Tageslicht". Die Zeta-Funktion lautet

Für s=1 erhalten wir also die Folge: Zeta(1)=1/1+1/2+1/3+1/4. Die Summe geht gegen unendlich.
Diese Polstelle erkennt man im Hintergrundbild sehr schön.
Wichtig ist noch, dass "s" eine komplexe Zahl ist.
Riemann vermutete nun, dass alle Nullstellen dieser Funktion auf der reellen Gerade mit dem reellen Wert=0,5 liegen.

Hardy und Littlewood konnten beweisen, dass unendlich viele Nullstellen auf dieser Gerade liegen. Aber dass sind eben nicht alle. Es können ja noch weitere unendlich viele Nullstellen woanders liegen.
Hier noch die Transformation der Zeta-Funktion in eine Produktdarstellung, wo der Zusammenhang zur Primzahlen erkennbar ist:

So und nun geht es endlich an meine Aufgabe.

Bitte berechnet nun die ersten 10 nichttrivialen Nullstellen auf der Gerade mit Re(s)=0,5.
Addiere die Summe der imaginären Werte der Nullstellen zwischen 13 und 33 auf die fiktive Nordkoordinate (26.323) und subtrahiere die imaginären Werte der Nullstellen zwischen den Werten 33 und 50 von der fiktiven Ostkoordinate (02.233).
Achtung: Bei der Ergebnisermittlung müsst ihr zuerst summieren und dann die Summe auf die nächste ganze Zahl runden.

Viel Spaß beim Rechnen. Riemann konnte von Hand ohne Taschenrechner und Computer viele Nullstellen berechnen.

Ich habe den Schwierigkeitsgrad vorerst auf D=4 gesetzt. Falls sich herausstellt, dass das Rätsel doch leichter ist, werde ich den Schwierigkeitsgrad natürlich verändern.

Der Erstfinder darf sich ein Buch aus meiner Mathematikbibliothek aussuchen und bekommt eine Urkunde.

Einen Spoiler und die Überprüfung deiner Lösung findest du hier: