Wer kennt schon Diophant? Archimedes kennen alle, von Pythagoras haben die meisten gehört, aber wer zum Teufel ist Diophant? Diophantos von Alexandria war ein griechischer Mathematiker. Es ist nicht genau bekannt, wann er lebte. Die Angaben schwanken zwischen 100 vor Chr. und 350 nach Chr.
Diophant befasste sich mit der Lösung von algebraischen Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Heute nennt man algebraische Gleichungen, die nur ganzzahlige Koeffizienten und keine reellen Funktionen, wie z.B. Quadratwurzeln, oder transzendente Funktionen (Logarithmen oder trigonometrische Funktionen), enthalten nach Diophantos von Alexandria Diophantische Gleichungen, wenn zusätzlich auch die Lösungen auf die Menge der (meist positiven) Ganzen Zahlen Z eingeschränkt sind. Durch die Beschränkung auf ganzzahlige Lösungen wird nämlich in gewissen Fällen aus einer unendlichen Vielzahl von Lösungen eine endliche Anzahl oder gar eine eindeutige Lösung abgegrenzt.
Ein einfaches praktisches Beispiel sei hier nun erwähnt:
Man will für 5 Euro genau 20 Briefmarken kaufen, und zwar nur 40-Cent-Briefmarken, 20-Cent-Briefmarken und 5-Cent-Briefmarken. (Wir setzen mal voraus, dass diese Briefmarken existieren, denn in Wahrheit ist das Beispiel aus einer Zeit, in der die Briefe noch nicht so teuer waren und es andere Währungen gab.)
Wie viel Briefmarken erhält man von jeder Sorte? Von jeder Sorte soll mindestens eine dabei sein.
Zur Lösung dieser Aufgabe kann man zwei Gleichungen mit drei Unbekannten aufstellen:
40·x + 20·y + 5·z = 500
x + y + z = 20
Hierbei bedeuten:
x = die Zahl der 40-Cent-Briefmarken,
y = die Zahl der 20-Cent-Briefmarken und
z = die Zahl der 5-Cent-Briefmarken.
Obwohl diese zwei Gleichungen mit drei Unbekannten unendlich viele Lösungenbesitzen, ist zunächst nicht sicher, ob es unter ihnen überhaupt welche mit ganzen positiven x, y, z gibt.
Am 8. August 1900 stellte David Hilbert das Problem der Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung als zehntes Problem seiner berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen vor. 1970 bewies Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch, dass die Lösbarkeit einer Diophantischen Gleichung unentscheidbar ist.
Für unsere Aufgabe lässt sich jedoch die Existenz ganzer positiver Lösungen nachweisen, es sind genau zwei.
Damit hier genau festgelegt ist, welches die erste und welches die zweite Lösung ist, sei definiert, dass die erste Lösung die ist, bei der x = y und y > z ist! Diese Hinweise sollte man sich bei der Lösung zu Nutze machen!
1. Lösung:
x = A
y = A
z = B
2. Lösung:
x = C
y = D
z = E
Diophants Grabstein versah man (angeblich) mit einer originellen Inschrift. Um ihren Sinn völlig verstehen zu können, muss man eine mathematische Gleichung lösen. Versuche dies zu tun, dann werden dir einige Einzelheiten aus dem Leben dieses Mathematikers offenbart, die dir helfen werden die Position des Caches zu ermitteln.
Die Grabinschrift hatte etwa folgenden Wortlaut:
„Wanderer (Geocacher)!
Hier liegen die sterblichen Überreste Diophants begraben.
Zahlen können erzählen, o Wunder,
wie lange sein Leben gewährt.
Den sechsten Teil bildeteseine sorglose Kindheit.
Ein Zwölftel der Zeit seines Lebens verfloss noch,
da bedeckte sich sein Kinn mit flaumigem Haar.
Ein Siebentel seiner Lebenszeit verbrachte
Diophant in kinderloser Ehe.
Dann vergingen noch fünf Jahre,
bis er durch die Geburt seines ersten Sohnes
beglückt wurde.
Diesem gewährte ein grausames Schicksal
nur halb soviel Zeit zu herrlichem, heiterem Leben
wie seinem Vater.
In tiefer Trauer nahm der ehrwürdige Greis
das Ende seines Erdenschicksals hin,
nachdem er seinen Sohn vier Jahre überlebet.
Sage, welches Lebensjahr Diophant erreicht hatte,
als der Tod ihn zu sich nahm.“
Wenn du diese Aufgabe gelöst hast, wirst du wissen, dass die sorglose Kindheit des Diophant F Jahre dauerte. Nach weiteren G Jahren heiratete er. Als er H Jahre alt war, wurde sein erster Sohn geboren. Als Diophant K Jahre alt war starb dieser Sohn und im Alter von L Jahren starb Diophant selbst.
Berechne nun:
M = B + D
P = K / 2
R = F – C + B / 2
W = L – K
Parken kann man an den oben angegeben Koordinaten.
Dann ist ein Höhenunterschied von ca. 170 m zu überwinden,
bis ihr an die Geocache-Position gelangt, die sich ergibt zu:
N 50° P.DRR' E 10° H.BMW'
Es muss sicher nicht erwähnt werden, dass P und H zweistellig sind.
Auf die so errechneten Koordinaten sollte man sich aufgrund des starken Laubdaches nicht mehr als 50 Meter verlassen.
Am Waldweg in Sichtweite des Caches steht ein Baum, bei dessen Betrachtung aus einer bestimmten Richtung man mit viel Phantasie das Profil eines traurigen Gesichtes erkennen kann (siehe Bild 1). Da ihr euch nun erfolgreich mit Diophants Gleichungen befasst habt, muss er nicht länger traurig sein und belohnt euch mit einem Geocache.
Deine Lösung für die Koordinaten dieses Rätsels kannst du auf geochecker.com überprüfen. Geochecker.com.
Dieser Cache lässt sich auch gut in Verbindung mit den Geocaches „Buchenbrunnen“ und „Trimm Dich“ absolvieren.
Startinhalt:
Kartenspiel „Die Schlümpfe“
Fünfzehner – Schiebespiel
Creative – Puzzle
Erfrischungstuch
Logbuch mit Bleistift, Spitzer und Trockenmittel (bitte im Cache lassen)