Leonhard Euler žil pred troma storočiami. Akýkoľvek krátky súhrn jeho života alebo diela by bol výsmechom, pretože Euler je proste jeden z najuznávanejších matematikov, akí vôbec žili. Namiesto obšírnych rečí teda radšej pár hádaniek. Pri ich riešení na pána Eulera určite narazíte a dozviete sa o ňom viac, než by sme boli schopní do tohto listingu popísať my.
Final kešky sa nachádza na súradniciach
N 48° 4A.BC6 E 17° 3X.YZ1
Hodnoty neznámych premenných sa dozviete, ak vyriešite tieto hádanky:
A: Aká cifra sa nachádza na milión dvestodvadsaťdvatisíc tristotridsiatom štvrtom mieste desatinného rozvoja čísla, ktoré sa rovná súčtu prevrátených hodnôt všetkých štvorcov prirodzených čísel?
OK, ak vás táto otázka zaskočila, skúsim to povedať postupne, jednoduchšie. Spočítajte hodnotu tohto nekonečného súčtu:
a vo výsledku (bude ním iracionálne číslo menšie ako 2) sa pozrite na 1 222 334. miesto desatinného rozvoja (čiže za desatinnou čiarkou).
B: Medzi hodnotami A, B, C, X, Y, Z z tejto mysterky sa práve jedno prvočíslo opakuje presne dvakrát. Označme ho p. A súčet hodnôt všetkých výsledkov týchto úloh A+B+C+X+Y+Z označme f. Číslo B získate tak, že súčet hodnôt f umocníte na p, odrátate f a výsledok vydelíte p. K zvyšku po delení prirátajte 4. Výsledkom je hodnota B.
C: Aká cifra sa nachádza na 2 121 215. mieste desatinného rozvoja Eulerovho čísla? (Eulerovo číslo je iracionálne číslo začínajúce 2,718...)
X: Vo veľkom vreci mám plno rôznych nepravidelných konvexných mnohostenov. Náhodne vytiahnem dva z nich. Spočítam, koľko majú spolu vrcholov, koľko majú spolu hrán a koľko majú spolu stien. Teraz sčítam celkový počet vrcholov s celkovým počtom stien a od tohto súčtu odpočítam celkový počet hrán. Aký je výsledok?
Y: Číslo Y získate ľahko. K hodnote 6 treba pripočítať hodnotu eiπ, kde písmenká znamenajú postupne Eulerovo číslo, Imaginárnu jednotku (čiže odmocninu z -1) a „pí“ je dobre známa hodnota pomeru obvodu k priemeru ľubovoľného kruhu.
Z: Obrázok zachytáva krajinu, ktorá je pretkaná systémom kanálov (modré čiary), na ktorých sú vybudované mosty (hnedé čiarky). Kanály rozdeľujú krajinu na očíslované oblasti. Predstavte si, že by ste sa vydali na prechádzku, počas ktorej chcete prejsť všetkými mostami, každým práve raz. Kde treba prechádzku začať? A kde sa skončí? Číslo Z je súčtom čísel tých častí pevniny, kde sa takáto prechádzka začína a končí.
