-----------------------------------------------------------------
Musím začít tímto ctěným pánem:
Gaspard Monge
Nechci Vás zatěžovat dlouhosáhlou kariérou, krušným mládím, životními útrapy, avšak pár základních informací je o tomto pánovi potřeba zmínit.
Pan Monge žil v letech 1746 - 1818, tedy v 18. a počátkem 19. století
Během francouzské revoluce působil jako ministr námořnictví a podílel se na reformě francouzského vzdělávacího systému. Pomáhal založit École Polytechnique, což je nejvýznamnější a nejznámější francouzská vysoká škola technického zaměření.
Byl francouzský matematik a co je pro nás důležité - byl to otec deskriptivní geometrie. Tato keš je věnována jemu a jeho zobrazovací metodě Mongeově projekci využívanou právě v deskriptivní geometrii.
Mongeova projekce
Používá se také název Mongeovo promítání.
Jednoduše:
Jedná se o dvojici pravoúhlých promítání na dvě k sobě kolmé průmětny a tyto dvě průmětny jsou prezentovány v jedné rovině (nákresně).
Mongeova projekce a její možnosti jsou obsáhlé - já jsem v ní např. zpracovával průniky hranatých těles jako svou závěrečnou práci na střední škole.
Jak je toto promítání jednoduché a lze poměrně snadno řešit rozmanité typy konstrukčních úloh, zejména metrických, tak na druhé straně názornost tohoto promítání poněkud zaostává
Cílem této keše není předat všechny znalosti nebo zkopírovat celé skriptum, ale dostat do povědomí základní myšlenku tohoto zobrazení v rovinném prostoru.
Pár základních pojmů
Promítání - promítnout, neboli zobrazit nějaký prostorový útvar U (vzor) znamená přiřadit mu takový rovinný útvar U´(obraz), abychom při pohledu na obraz měli pokud možno stejný dojem, jako když se díváme přímo na vzor. Říkáme, že promítání je abstrakce procesu vidění. Promítání je určené průmětnou a směrem promítání. Existují dva základní typy promítání – středové a rovnoběžné viz níže.
Středové promítání se pro potřeby Mongeovy projekce nevyužívá, proto se budu dále věnovat jen rovnoběžnému promítání.
Volné rovnoběžné promítání je určeno směrem promítacích přímek s a průmětnou π. Rovnoběžný průmět bodu A je bod A' – průsečík přímky směru promítání procházející bodem A a průmětny π. Rovnoběžný průmět útvaru U, tj. útvar U', tvoří rovnoběžné průměty všech bodů útvaru U.
Při volném rovnoběžném promítání se zachovávají tyto vlastnosti: 1. rovnoběžnost - rovnoběžné útvary se zobrazí jako rovnoběžné 2. incidence – Leží-li bod A na přímce a, leží jeho obraz A' na přímce a', která je obrazem přímky a. 3. dělící poměr – volné rovnoběžné promítání zachovává dělící poměr na přímce.
Speciálním případem rovnoběžného promítání je pravoúhlé promítání, ve kterém platí všechna předchozí pravidla a navíc promítací přímky jsou kolmé k průmětně.
--- !!! ---
Abychom se mohli věnovat prostorovým úlohám a řešit jejich polohové a metrické vztahy, je nutné zvolit souřadnicovou soustavu. Souřadnicová soustava je tvořena třemi přímkami x, y, z, které procházejí společným bodem O. Tyto jsou po dvou vzájemně kolmé a jsou opatřeny měřítky (se stejnými jednotkami) se společným počátkem v bodě O. Takto vytvořená pravoúhlá soustava souřadnic se nazývá Kartézská soustava souřadnic . Označíme ji O(xyz).
Přímky x, y, z jsou osy soustavy souřadnic a bod O je počátek soustavy souřadnic (z latinského origo). Orientace os určuje orientaci soustavy souřadnic.
Základní myšlenkou Mongeovy projekce jako dvojice pravoúhlých promítání na dvě k sobě kolmé průmětny je sdružení průměten. Ke sdružení jsou vybrány dvě průmětny, půdorysna π a nárysna ν. Proces sdružení lze popsat následovně:
Půdorysnu otočíme kolem osy x do nárysny tak, aby otočená kladná osa y splynula se zápornou osou z. Tím ztotožníme obě průmětny a získáme tak nákresnu Mongeovy projekce - názoně obrázky níže (1 - sdružení; 2 - nákresna)
--- !!! ---
Zobrazení bodu
Jak už bylo řečeno, každému bodu v prostoru lze přiřadit souřadnice vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic. Tedy bod B [xB,yB,zB] je určen právě uvedenými souřadnicemi. Bodem B (vzorem) proložíme první promítací přímku s1, která promítne bod B do půdorysny, tím získáme pravoúhlý průmět bodu B do půdorysny, tedy bod B1 (půdorys bodu B). Současně bodem B proložíme druhou promítací přímku s2, která promítne bod B do nárysny, tím získáme pravoúhlý průmět bodu B do nárysny, tedy bod B2 (nárys bodu B). Obrazem bodu B v Mongeově projekci je pak uspořádaná dvojice bodů B1, B2. Tyto body po sdružení průměten leží na přímce kolmé k základnici (ose x). Přímku B1B2, kolmici k základnici nazýváme ordinála (z latinského ordo = pořádek). Sdružené průměty bodu v Mongeově projekci leží na ordinále, tj. přímce kolmé k základnici
Pro zobrazení bodu potřebujeme 3 souřadnice: X, Y a Z.
Řekl bych, že toto je absolutní základ mongeova promítání. Více Vás nechci zatěžovat a můžete vyřešit tuto mysterku.
Ke keši
Nepřipravil jsem nijak náročnou úlohu, která by měla prověřit Vaše znalosti hlavních přímek, spádových přímek, určování skutečné velikost přímky, afinity, stínování, určování průniků hranatých tělěs, apod. Tudíž se toho nebojte - stačí pochopit listing výše!!!
Takže: šifra 2,5 a hvězdička ke hledání
Ať je hnedka jasno, tak uvádím obrázek níže - jinak by to mohlo mít několikero řešení ;)
Finální souřadnice a krabku najdete na:
N 49°39.X
E 018.22.Y
Citace: http://cs.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge http://www.monge.wz.cz/index_soubory/pisemnapracetxt.htm