Umením spraviť dobrý odhad bol dobre známy Enrico Fermi, fyzik, ktorý sa spolupodieľal na zhotovení prvej atómovej bomby. Fermi hlásal, že rádovo presný odhad sa dá získať s minimom vstupných dát ak si situáciu primerane zjednodušíte a vhodne odhadnete potrebné parametre. Obdivuhodne presne napríklad odhadol explozívnu silu prvej atómovej bomby, keď pri Trinity teste vypustil z ruky do vzduchu papieriky v momente príchodu tlakovej vlny. Podľa vzdialenosti, na ktorú papieriky „odfúklo“, dorátal odhad sily atómovej bomby na 10 kiloton TNT. Neskôr po spracovaní všetkých dát sa táto sila odhadla na 18 kiloton TNT, čo je fantasticky blízko Fermiho rýchleho odhadu.
Fermi sám vymyslel množstvo hádaniek, na ktorých si môžeme precvičovať schopnosť konštruovať dobré odhady. Jeden z jeho vzorových príkladov je otázka: Koľko je v Chicagu ladičov klavírov?
Najprv treba odhadnuť dáta:
1. V Chicagu žije zhruba 5 000 000 ľudí.
2. V priemere žijú v jednej domácnosti 2 ľudia.
3. Zhruba 1 z 20 domácností má doma klavír.
4. Klavír sa ladí zhruba raz ročne.
5. Ladičovi trvá naladiť klavír zhruba 2 hodiny.
6. Ladič pracuje 8 hodín denne, 5 dní v týždni, 50 týždňov v roku.
To znamená, že ročne v Chicagu treba vykonať 125 000 ladení. Jeden ladič za rok naladí:
Ak tieto dve čísla vydelíme, získame slušný odhad, že v Chicagu pôsobí 125 ladičov klavírov.
Zaujímavé sú aj otázky typu: Koľko ľudí sa na svete práve špára v nose?
Pri tomto type otázky existujú dve dobré finty:
1. Podiel času, ktorý venuje istej aktivite „priemerný“ človek je rovnaký ako podiel ľudí danej populácie, ktorí sa tejto aktivite venujú práve teraz. Napríklad, ak bežný človek spí v priemere 7 hodín denne, tak v tomto okamihu na Zemi spia zhruba 2 miliardy ľudí, lebo:
Samozrejme, „rovná sa“ treba chápať pri odhadoch trochu voľnejšie. Ak nám ide o rádovo presný výpočet, tak 49:24 pokojne možno nahradiť 2, namiesto π výborne poslúži 3 a podobne.
2. Ak nejaké číslo fakt neviem nijako rozumne odhadnúť, poslúži na odhad geometrický priemer jeho najmenšieho a najväčšieho možného z brucha nastreleného odhadu. Ak napríklad nevieme odhadnúť, koľko času denne strávi priemerný človek špáraním sa v nose, postupujme takto: Určite je to aspoň 10 sekúnd denne, ale zrejme to nebude viac ako 20 minút denne (1 200 sekúnd). Geometrický priemer 10 a 1 200 je druhá odmocnina z 12 000, čo je okolo 110, povedzme teda, že 2 minúty. Deň má 1 440 minút. Priemerný človek teda strávi špáraním sa v nose zhruba jednu sedemstotinu času. Ak je svetová populácia 7 miliárd, v nose má z tohto počtu momentálne zastrčený prst zhruba 10 000 000 ľudí. To je zaujímavá predstava.
Zabŕnuť môžte naozaj hocikam: Koľko buniek je v ľudskom tele?
Stačí odhadnúť objem tela a objem bunky. Objem ľudského tela sa odhadne veľmi jednoducho – keďže ľudské telo vo vode pri nádychu pláva a pri výdychu sa dokáže ponoriť, bude hustota tela blízka hustote vody. 70 kilogramový človek teda bude teda zaberať zhruba 70 litrov priestoru. To je 7.10-2 m3.
S bunkou je to ťažšie. Bunky sú malé, ale zas nie až tak hrozne malé. Niektoré bunky ľudského tela možno vidieť voľným okom (vajíčko). Aký rozmer vie vidieť ľudské oko? Milimetre (10-3 metra) vidíme v pohode, desatiny milimetra určite tiež (10-4 metra), pretože to je zhruba šírka tých rysiek, čo na pravítku označujú milimetre. Vedeli by sme rozoznať okom ešte čiarku desatinnej šírky? Možno hej, povedzme, že to je teda prah našej rozlišovacej schopnosti (10-5 metra), a že takýto je teda priemer tých najväčších buniek v tele. Tie menšie teda môžu mať priemer rádovo menší (10-6 metra). Geometrický priemer nás dovedie k hrubému odhadu 3.10-6 metra.
Aký bude objem buniek? No neviem, ako je to s vami, ale moje bunky sú kocky, ich objem je teda (3.10-6)3 m3 = 27.10-18 m3 = 2,7.10-17 m3. Samozrejme, že bunky nie sú kocky, ale robíme len radový odhad, podstatné je, aby to sedelo rozmerovo, Ludolf tu už veľkú rolu nezohrá.
Počet buniek v tele je teda zhruba (7.10-2 m3) : (2,7.10-17 m3) = 2.1015. Strieľali sme naozaj veselo a výsledok je len 20-krát väčší ako sú aktuálne rešpektované odhady.
Ku keške
Ak chcete nájsť kešku, vašou úlohou bude vyriešiť niekoľko odhadoviek a trafiť sa s vašim výsledkom do ponúknutých možností. Najzábavnejšie je riešiť tieto úlohy bez vyhľadávania dát na internete, len dobrým odhadom jednotlivých súčastí problému. Keška sa nachádza na súradniciach:
N 48° 0A.BC9, E 17° 0D.EF2
A. Koľko atómov uhlíka (ako v diamante) by sa zmestilo do klasickej plážovej nafukovacej lopty (štandardný priemer takejto lopty je 24 palcov = cca 61 cm)?
(A=4) Ich počet bude niekde medzi 1025 až 1031.
(A=5) Ich počet bude niekde medzi 1018 až 1024.
(A=6) Ich počet bude niekde medzi 1011 až 1017.
B. Vyjadrite priemer Slnka ako násobok priemeru ľudskej červenej krvinky.
(B=5) Slnko má zhruba 105 až 1010 krát väčší priemer ako krvinka.
(B=9) Slnko má zhruba 1011 až 1016 krát väčší priemer ako krvinka.
(B=2) Slnko má zhruba 1017 až 1023 krát väčší priemer ako krvinka.
C. Koľko stebiel trávy sa v priemere nachádza na tenisovom kurte turnaja Roland Garros (French Open)?
(C=7) Zhruba 109 až 1013.
(C=5) Zhruba 104 až 108.
(C=3) Menej ako 103.
D. Aký je priemer kvapôčky vody v oblaku vyjadrený ako násobok priemeru Jupitera?
(D=6) Zhruba 10-2 až 10-9.
(D=5) Zhruba 10-10 až 10-17.
(D=4) Zhruba 10-18 až 10-25.
(D=7) Zhruba 10-26 až 10-33.
E. Je zaujímavé sledovať, ako veľmi sa dokáže zohriať miestnosť, v ktorej sa zišlo viac ľudí. Každý človek totiž neustále dodáva svojmu okoliu teplo, ktoré produkuje jeho metabolizmus. Aký výkonný „ohrievač“ je v priemere človek?
(E=8) Zhruba 1 až 49 Joulov za sekundu.
(E=9) Zhruba 50 až 499 Joulov za sekundu.
(E=3) Zhruba 500 až 4 999 Joulov za sekundu.
(E=4) Viac ako 5 000 Joulov za sekundu.
F. Koľko eurocentových mincí by bolo potrebné naukladať na seba, aby táto kôpka „dočiahla“ zo Zeme až na Slnko?
(F=4) Zhruba 107 až 1011.
(F=8) Zhruba 1012 až 1016.
(F=0) Zhruba 1017 až 1021.
Pár slov na záver
Ak sa z toho neviete vysomáriť, zopakujte si, ako sa pracuje s vedeckým zápisom veľkých čísel a pozrite si pár dobrých tipov, ako riešiť odhadovky. Hint k finálu nájdete v overovači. Ak ste hádanky nelúštili sami, je dôležité, aby ste sa v téme aspoň trochu zorientovali, pretože na fináli možno budete niečo z týchto zručností ešte potrebovať.
000. 001. 010. 011. 100. 101. 110. 111.