Vorsicht: Spielende Zahlen! (Teil 32)
Diese Mystery-Cachereihe soll sich an alle richten, die in der Schule Zahlen immer doof fanden.
Ich lade Euch ein, den Zahlen beim Spielen zuzuschauen.
Heute machen wir ein Spaziergang durch den Zahlenzoo und schauen uns die wilden Kreaturen an.
Gleich am Eingang sitzt der Star in einem golden Käfig:
Eine vollkommene Zahl ist eine Zahl, welche sich in ihre Summanden zerlegt und sich auch durch diese teilen lässt.
Die kleinste vollkommen Zahl ist 6. 6=1+2+3, wobei sowohl 1 als auch 2 und 3 Teiler von 6 sind.
Die elfte vollkommene Zahl ist 13.164.036.458.569.648.337.239.753.460.458.722.910.223.472.318.386.943.117.783.728.128
Gleich dahinter tummelt sich die 70 im Schlamm. Sie ist die erste merkürdige Zahl.
Unter „merkwürdig“ versteht man eine Eigenschaft, die durch eine Abweichung vom Üblichen auffällt. Sie weckt Aufmerksamkeit oder gar Misstrauen. Diese Eigenschaft findet man nicht nur bei manchen unserer Zeitgenossen, sondern erstaunlicherweise auch bei Zahlen. Dabei mutet schon die mathematische Erklärung selbst seltsam an. Doch ergibt sie durchaus einen Sinn, da merkwürdige Zahlen sich allen Versuchen einer Einordung widersetzen. Aber vielleicht wird auch das Zahlenleben durch sie bunter, so wie merkwürdige Vorkommnisse auch stets unsere Aufmerksamkeit erregen.
Zum Verständnis der merkwürdigen Zahlen ist die Kenntnis
einiger Begriffe erforderlich, die insbesondere dem
mathematischen Laien unbekannt sein werden. Sie beziehen
sich alle auf Teilereigenschaften. Eine natürliche Zahl n wird vollkommen genannt, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer echten Teiler, also aller Teiler außer der Zahl selbst. Ist diese Teilersumme größer als die Zahl, so heißtn abundant; ist sie kleiner, so heißt n defizient. 6 ist vollkommen, 12 ist abundant, 14 ist defizient, wie man leicht nachrechnen kann.
Nun gibt es auch Fälle, in denen sich eine natürliche Zahl als Summe einiger, aber eben nicht aller Teiler darstellen lässt. 20 ist ein Beispiel, denn 20=1+4+5+10. Hier fehlt die 2 als Teiler von 20, daher ist sie nicht vollkommen. Zahlen mit dieser Eigenschaft nennt man pseudovollkommen.
Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig, wenn sie abundant, aber nicht pseudovollkommen ist.
Völlig verwirrt von soviel Merkwürdigkeit kommst du an den nächsten Käfig.
Weither ist der Insasse gereist: Cuban Prime
Änlich wie bei den Dreieckszahlen lassen sich Spielsteine auch in Sechsecke legen, indem man um einen Spielstein in der Mitte weitere Steine in Form eines Sechsecks gruppiert. In jeder Reihe wird dabei die Anzahl der Steine an den Seiten um 1 erhöht. Man kommt so zu den zentrierten Sechseckzahlen, die auch Hexzahlen genannt werden. Die n-te Hexzahl Hexn entspricht also der Anzahl Steine in einer Figur aus n Sechsecken, die um einen mittleren Stein herum gelegt werden.
Ist eine Hexzahl auch eine Primzahl, so heißt sie Cuban Prime.
Im gebirgigeren Teil des Zoos findet man die Catalan-Zahlen.
Manche Erkenntnisse aus einem Teilgebiet der Mathematik haben oft unmittelbare Auswirkungen auf ein ganz anderes Gebiet und tragen manchmal sogar dazu bei, dieses besser und leichter zu verstehen. Durch Forschung an einem bestimmten mathematischen Thema stößt man oft auf ungeahnte Zusammenhänge, die eine ganz neue Sicht- und Denkweise ermöglichen, welche wiederum zu weiterem Forschen anregt.
Die Catalan-Zahlen stellen ein sehr gutes Beispiel dafür dar. Die Catalan-Zahlen - eine Zahlenfolge, die immer mehr an Bedeutung gewinnt - sind bei weitem nicht so bekannt wie die Fibonacci-Zahlen oder die Binomialzahlen, aber in ihrem Reichtum an Anwendungsmöglichkeiten sind sie diesen ebenbürtig.
Möglichkeiten, wie sich 2n Personen, die an einem runden Tisch sitzen, paarweise über den Tisch die Hände schütteln, ohne dass sich Arme überkreuzen.
Ein extrem seltenes Exemplar findet sich im Tropenhaus: die Sophie-Germain-Primzahl
Eine Primzahl p heißt Sophie-Germain-Primzahl, wenn auch 2 · p + 1 eine Primzahl ist.
„Wenn dann aber eine Person dieses Geschlechts, das aufgrund unserer Sitten und Vorurteile unendlich viel mehr Hindernisse und Schwierigkeiten vorfindet als ein Mann, bei dem Versuch, sich mit diesen dornigen Forschungen vertraut zu machen, es dennoch versteht, diese Fesseln zu sprengen und in die tiefsten Geheimnisse einzudringen, so muss diese Person ohne Zweifel den vornehmsten Mut, ein außerordentliches Talent und ein überlegenes Genie besitzen."
Unter extremen Sicherheitsauflagen eingesperrt, kann der Besucher die Vampir-Zahlen bewundern.
In Analogie zu Vampiren schuf Clifford 1994 den Begriff der Vampirzahl, die sich aus ihren eigenen Ziffern nährt. Wie die Vampire in der realen Welt muss auch die Vampirzahl um ihre Existenzberechtigung in der mathematischen Welt fürchten, da ihre Definition von der Darstellung im 10er-System abhängt und ihr wissenschaftlicher Nutzen daher gering ist.
Doch nun zur Gewinnung der Koordinaten:
1. Erinnere dich an deinen Zoorundgang.
2. Mache dich mit dem Leben der Tiere vertraut.
3. Wie lautet die letzte Ziffer der 9. vollkommenen Zahl? = a
4. Wie lautet die Quersumme der 3. merkwürdigen Zahl? = b
5. Wie lautet die Quersumme der 13. Cuban Prime? = c
6. Mit welcher Ziffer beginnt die Catalan-Zahl für n=25? = d
7. Wieviele Sophie-Germain-Primzahlen kleiner 10000 gibt es? = e
8. Finde die sieben Vampirzahlen, die sich als Produkt zweier gleich langer Faktoren darstellen lassen, die kleiner 10000 sind und bilde ihre Summe = f.
9. N 50° 13.(a/2)(b-1)(c-1)’
10. E 10° 59.(d+2)(e/95)(f-16514)’
Dr. M.A. Thematiker: Das Problem liegt im Bergen des Finals! J