Mysterky , jejichz rozlusteni trvá mnohonásobne déle než
vlastní odlov mám na geocachingu nejradeji. Proto jsem pro vás
jednu takovou také pripravil. Tentokrát si procvicíte rešení
Einsteinovy rovnice gravitacního pole. Pri vypoctu teto mysterky
vyjdete ze základniho tvaru Einsteinovy rovnice gravitacního
pole:
Pro rešení pak uvažujte se zúženým s metrickým
tenzorem gik;. Asi uz tusite ze plati :R – 2R = T.
8 p G/c4 Rik = (8
pG/c4 ). (Tik - 1/2gikT) . Pak uz vam je
jiste jasne ze kovariantní ctyrdivergence levé strany
Gik Einsteinových rovnic je dusledem Bianchiho identit
pro tenzor krivosti identicky rovna nule a projevem je pak
geometricko-topologicky princip trojrozmerné hranice ctyrrozmerné
oblasti prostorocasu: gik = hik + hik ; |hik|
<< 1 , kde hik je Minkowskiho tenzor plochého
prostorocasu a hik je malá "oprava" vyjadrující slabé
gravitacní pole. Složky hik jsou pak úmerné
Newtonovu gravitacnímu potenciálu : - yik,11 = o yik =
(16 p G/c4 ) .
Tik. Kde o = ¶ 2 / ¶ x
2 - (1/c 2 ) ¶
2 / ¶ t 2 je
d'Alembertuv operátor. Pro rešení techto linearizovaných
gravitacních rovnic pri Lorentzove kalibraci ( yik ,k = 0) pak vychazejte ze
tvaru retardovaných potenciálu :
kde R = Ö[ a=1S3 ( xa - x´a
) 2 ] je vzdálenost z jednotlivých míst x'
a soustavy zdroje do
vyšetrovaného bodu xa
Dále predpokládejte situaci, kdy je gravitacní pole buzeno zdrojem
pro nejž s dostatecnou presností platí Newtonovská fyzika, tj.
rychlosti jsou zde malé a Too<<|Tia|. Retardaci je tedy možné zanedbat a
použít: yoo = - 4
j/c4, y oa = 0,
yab = 0 , kdej
(t,xa) = n (Too (t,x´a )/R)
dx´1dx'2dx'3 a tedy :
ds2 » - c2(1 + 2
j /c2)dt2 +
(1- 2j/c2)(dx2+dy2+dz2
) . R»r a metriku
(vyjádrením Schwarzschildovy geometrie ) pak vyjadrete
pomocí celkové hmotnosti M n
T°°d3x zdrojové soustavy :
Asi je vam uz zcela jasne, ze retardované potenciály
rozložite Taylorovou radou podle mocnin x'/R. V klidové
vztažné soustave s pocátkem v težišti (tj.
Pa= nT°a
d3x = 0 ,n xaT°°d3x = 0) pak po vhodné
kalibraci pocítejte s presností 1/r :
kde Ja= neabgxbTg°d3x je vlastní (rotacní)
moment hybnosti zdrojového telesa. Gravitacne-vlnové cleny v
metrice neuvažujte , pro vnejší gravitacní pole
rotujícího telesa použijte približnou metru :
Pro úplnou variaci pak dosadte Lagrangián :
Spoctete tedy r a g (zaokrouhlete matematicky na celé císlo )
pro Lg= (c 3/8p G)
(R - 2 L ), kde G je Newtonova
gravitacní konstanta a L je
kosmologická konstanta. Tak myslím že to tak složité
nebylo , urcite se vám r i c podarilo bez problému spocítat. Ted uz
jen zbývá vyrazit na : N(r+30)°07.97c E(32-r)°38.469 . Vzhledem k
tomu, že prístupu k rešení rovnice muže být více,
mužete u této kešky vyjímecne zpusob výpoctu
Einsteinovy rovnice gravitacního pole do logu naznacit .
A na záver to nejduležitejší , doporucená literatura
:
Další informace muzete ziskat na vychozich souradnicich u
nektereho z ucitelu matematiky mistni školy.