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Hidden : 5/16/2009

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Der Schatz des Optix

Ich weiß nicht, ob einer von Euch Schatzsuchern auch hin und wieder Fachzeitschriften über optische Messtechnik liest. Auf jeden Fall wurde in einer der letzten Ausgaben von dem sagenhaften Schatz des Optix berichtet. Ich fasse einmal kurz zusammen, was in dem Artikel stand:

In einem kürzlich wieder entdecktem kleinen Optiklabor wurden in einem Safe zwei Glaszylinder unterschiedlicher Länge gefunden. Zudem wurde noch eine ganz Reihe von Interferometern gefunden. Mit diesen Geräten werden Längenunterschiede von mindestens zwei unterschiedlichen Wegen von Licht der selben Lichtquelle gemessen. Der Maßstab ist dabei die Wellenlänge des verwendeten Lichts. Die Wellenlänge von sichtbarem Licht liegt in der Größenordnung von einigen 100 nm, z.B. für grünes Licht sind das in etwa 550 nm. Interferometer können eine Auflösung von mehr als 1/1000 der Wellenlänge erreichen. Das bedeutet, dass Längen bis unter einem millionstel Millimeter messbar sind.

Was hat es aber nun mit den Glaszylindern auf sich? In der Optikzeitschrift wird darüber spekuliert, dass die Glaszylinder irgendwie einen Hinweis zu einem Versteck liefern könnten. Warum sollten sonst an sich unspektakuläre Glaszylinder in einem Safe liegen?

So. Wie funktioniert nun so ein seltsames Messgerät? Licht als Maßstab? Hmmmm....

Hier ist ein Beispiel eines Typs. Es ist ein Mach-Zehnder Interferometer.

Folgendes habe ich schon herausgefunden:
Was man messen kann ist eine Intensität, also eine Art Helligkeit. Jeder Foto macht das, in jedem einzelnen Pixel. Was ich sonst noch herausgefunden habe, ist das Verhalten der Intensität in einem Interferometer. Dort überlagern sich am Detektor, z.B. einer Kamera, die elektromagnetischen Felder des Lichts einer Lichtquelle, die aber auf unterschiedlichen Wegen zu dem Detektor gelangt sind. Die Rechnerei ist etwas kompliziert. Elektrische Felder mit einer wahnsinnig hohen Frequenz lassen sich (noch nicht) direkt messen. Ein Detektor, wie auch unsere Augen, mittelt über die Zeit. Also hier ist das Ergebnis:

I = I₀*(1 + v * cos(k * d))

k ist die sogenannte Wellenzahl:

k = 2 * pi / lambda

Der Wegunterschied d bei einem x mm langen Messobjekt im Mach Zehnder Interferometer ist praktisch:

d = x_Messobjekt*n_Messobjekt - x_Messobjekt*n_Luft

also in etwa

d = x_Messobjekt * (n_Messobjekt - 1)

wenn das Messobjekt aus Glas ist in n ca. 1.5 und Wegunterschied ohne Messobjekt null ist.

Man kommt somit zu der folgenden einfachen Faustformel:

d = x/2

Wie geht man nun vor?

Gemessen wird die Intensität I.
Die Wellenlänge lambda bzw. k ist bekannt.
Gesucht ist der Wegunterschied d der beiden Lichtwege. Die Wegunterschiede liefern die Koordinaten im Format 4930700 oder 1052700. Das soll also N 49°30,700' und E 10°52,700' bedeuten.
I₀ ist die Amplitude des Lichtsignals und v der Kontrast. Beide Größen interessieren uns aber nicht.

Erinnern wir uns mal kurz an die Schulzeit... Wir haben 3 Unbekannte, von welchen uns zwar nur eine interessiert, aber wir wissen ja wie das geht. Wir erzeugen einfach drei Gleichungen.

I₁ = I₀(1 + v * cos(k * d + alpha₁))
I₂ = I₀(1 + v * cos(k * d + alpha₂))
I₃ = I₀(1 + v * cos(k * d + alpha₃))

Die "Alphas" kennen wir, weil wir gezielt einen der beiden Wege des Lichts im Interferometer ändern können. Man verschiebt einfach einen Spiegel. Das nennt man: "Die Phase schieben".

Leider erreicht mit dieser Methode nicht eine ausreichende Genauigkeit, weil man Fehler beim Verschieben der Spiegel macht. Es gibt bessere Methoden, bei welchen man einige Fehler kompensieren kann. Eine davon verwendet 5 Einstellungen. Man bekommt also nicht nur 3, sondern 5 Intensitätswerte. Wenn man dazu noch die Weglänge so ändert, dass die Schrittweite 1/4 Wellenlänge ist, wird die Angelegenheit für phi = k * d besonders einfach.

phi = arctan(2*( I₂ - I₄) / (- (I₁ - 2*I₃ + I₅)))

Jetzt liefert aber der Arkustangens Werte nur zwischen -pi und +pi. Man kann also nur Längen zwischen -lambda/2 und lambda/2, also z.B. zwischen -266 nm und + 266 nm messen?

Die schlechte Nachricht: Mit einer Wellenlänge ist das mit dieser Methode so.

Aber es gibt ja für vieles einen Ausweg.

Wir können einen Wegunterschied d einfach einmal folgendermaßen schreiben:

d = (z + epsilon) * lambda

Dabei soll z eine ganze Zahl sein und epsilon ein Bruchteil einer ganzen Zahl.

Zum Beispiel:

2500 = (2 + 0.5)* 1000

Und was haben wir vor ein paar Zeilen gelernt? Der Arkustangens ermöglicht es nur Längen zwischen
-pi und +pi zu messen, also nur einen Bruchteil einer Wellenlänge?

Der Winkel phi entspricht also praktisch einem Bruchteil einer Wellenlänge.

Der Zusammenhang zwischen epsilon und phi lässt sich einfach herstellen.
Wir verschieben den Winkel einfach in das Intervall von 0 bis 2pi und teilen durch 2pi.

epsilon = (phi + pi) / (2 * pi) = phi / (2pi) + 0.5

Das löst aber unser Problem immer noch nicht! Aber wir wissen, dass uns jetzt nur noch die ganze Zahl z fehlt.

Nachdem wir faul sind, verwenden wir wieder den gleichen Trick wie vorhin schon! Wir nehmen einfach mehrere Gleichungen. Und das geht so:

Der Weg ist ja für alle Wellenlängen der gleiche (im Vakuum, ich weiß), also:

d= (z₁ + epsilon₁) * lambda₁ =
(z₂ + epsilon₂) * lambda₂

Wir können ja nach einem z auflösen:

z₁ = lambda₂ / lambda₁ * (z₂ + epsilon₂) - epsilon₁

Der Nachteil ist, dass sich alles nach einem Wegunterschied d der dem kgV der Wellenlängen, dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Wellenlängen, wiederholt. Die maximale Länge, die gemessen werden kann, ist also das kgV der Wellenlängen.

Die Aufgabe ist also:

Probiere ganze Zahlen von 0 ab für z₂ aus und suche das (einzige) ganzahlige Ergenbnis für z₁.

Die Glaszylinder sind aber sehr lang. In unserem Fall benötigen wir drei Wellenlängen.

Die Aufgabe bei drei Wellenlängen ist also:

Probiere ganze Zahlen von 0 ab für z₂ aus und merke Dir nur die Ergebnisse, bei welchen z₁ eine ganze Zahl ergibt. Mache anschließend das gleiche mit den Ergebnissen von z₁ für z₃. Es wird nur ein z₃ übrig bleiben.

Ach ja... Ich habe das Optiklabor ausfindig gemacht. Im Safe waren drei total verstaubte Laser:
Ein HeNe Laser. Er hat eine Wellenlänge vom 633 nm und leuchtet rot. Er ist das Steckenpferd vieler Messtechniker.
Ein Nd:YAG Laser. Er hat eine Wellenlänge vom 532 nm und leuchtet grün. Er wir gerne als Laserpointer verwendet.
Ein anderer Nd:YAG Laser. Er hat eine Wellenlänge vom 473 nm und leuchtet blau. Das ist ein wahrer Exot.

In einem total dunklen Eck im Keller habe ich ein Laborbuch gefunden... Hier sind ein paar Infos davon:

Zum Schluss nur noch ein Hindernis:
Es kann natürlich bei fünf Einstellungen der Weglängen nur für eine Wellenlänge die Schrittweite ein Viertel der Wellenlänge ( = pi/2 oder 90°) sein. Das war offensichtlich für grün der Fall, da dort I₁ = I₅. Für die anderen beiden Wellenlängen sind Berechnungen von phi deutlich komplizierter.

Hier eine kleine Anleitung:

Ich vermute einmal die Zahlen unter den Intensitäten sind 3x3 Matrizen.

An diese Matrizen müßt ihr Vektoren multiplizieren. Das Ergebnis ist natürlich wieder ein Vektor w=(w1, w2, w3).
Das geht so:

phi ist dann einfach:

phi = arctan(w3/(-w2))

Die Vektoren v=(v1, v2, v3), die Ihr da an die Matrizen multipliziern müsst, sehen so aus:

v1 = Summe (I_i) = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ + I₅

v2 = Summe (I_i * cos(alpha_rot,i))

v3 = Summe (I_i * sin(alpha_rot,i))

i geht einfach von 1 bis 5.

Und die alphas?

Die sind einfach:

alpha_rot,i = (i-1) *pi / 2 * lambda_grün / lambda_rot

Genauso geht das natürlich für blau.

Zwei Hinweise zu den Rechnungen benötigt ihr noch.

Da ja nicht beliebig viele Stellen der Matrizen angegeben sind und die Intensitäten nur ganze Zahlen sind, wird es natürlích dazu kommen, dass keine ganze Zahl beim Durchprobieren der z's herauskommt. Das ist ganz so wie in der Realität. Aber das Interferometer misst ja super genau! Ihr könnt also alle Ergebnisse bei der Suche nach dem z's als ganze Zahl auffassen, die weniger als 1/200 von einer ganzen Zahl abweichen.

Ich habe mit Absicht die Minuszeichen in den Nenner der Brüche in den Arkustangensfunktionen geschrieben! Da muss das Vorzeichen hin, wenn ihr mit atan2 arbeitet. Wenn das Vorzeichen oben steht, dann ist der Winkel um 180° falsch und die folgende Rechnung liefert falsche Ergebnisse!

Und noch ein Hinweis, der sich beim Betatest herausstellte: Microsoft muss sich wieder einmal vom Rest der Welt unterscheiden. Zumindest in Excel sind in atan2 die Argumente vertauscht, also (x, y) anstatt von (y, x). Wir haben uns im ersten Moment beim Debuggen der Excel Auswertung gewundert.

Weitere Infos:

Die Matrizen fallen vom Himmel. Ich mag so etwas eigentlich auch nicht. Also hier ist die Erklärung. Die Matrizen sind das letzte Zwischenergebnis eines sogenannten Fits der Intensitäten an die Cosinus-Funktion (1. Formel ganz oben). Beim Fit werden die optimalsten der unbekannten Parameter berechnet. Die Herleitung wollte ich aber Euch ersparen.

n ganz oben ist der Brechungsindex.

Die Ergebnisse der Mühen sind dann, wer hätte es anders gedacht, die Koordinaten, allerdings in Nanometern.
Vielleicht kann mir ja jemand zusätzlich sagen, wie lange die Glaszylinder tatsächlich sind. Ihr habt freie Materialwahl und Interferometerwahl.

Schöne Grüße an die Nussschnecken und BrettSinclair. Sie müssten sich eigentlich mit Zeug ein wenig auskennen, gell?

UND: Volumenhologramme sind halt nicht so stabil wie Glasblöcke. ;-)

Erstinhalt:

Krimskrams für die Kinder
Logbuch & Stift
TB

Viel Spaß beim Outdoorteil. Keine Angst, es kommen keine Aufgaben mehr...

Vielleicht kann mir ja noch einer erklären, wie ich griechische Symbole auf diese Seite bekomme. Unicode geht nicht. Wenn man fonts angibt, geht das zwar im IE, aber nicht in Firefox.